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Filippo Santambrogio
Lundi 27 novembre 2017
Filippo Santambrogio (Uni. Paris-Sud)
Mesures moment, variantes, applications et approches variationnelles.
Résumé
On dit que \mu est la mesure moment d’une fonction convexe u si \mu est l’image de la densité log-concave \rho=exp(-u) par le gradient de u. Dans un papier récent, D. Cordero-Erausquin et B. Klartag (JFA, 2015) ont caractérisé l’ensemble des mesures \mu qui sont des mesures moment d’une fonction convexe et "essentiellement continue" (une condition qui porte sur les point où u tend vers l’infini, s’il y en a), en prouvant des résultas d’existence et unicité de u par une méthode variationnelle. Il est également possible, et ce sera l’objet principal de l’exposé, d’obtenir cela par une méthode variationnelle où l’on minimise une fonctionnelle en \rho, qui fait apparaître son entropie et des coûts de transport (il s’agit là d’un papier apparu dans JFA en 2016).
Après avoir présenté ces questions je passerais à des variantes, où l’exponentielle est remplacée par d’autres fonctions décroissantes (notamment, des puissances négatives), et je mentionnerais leurs liens avec des problèmes de géométrie (trouver des hémi-sphères affines, par exemple, selon une approche de Klartag), pour finir avec quelques mots sur les méthodes numériques qu’on peut utiliser pour approcher les solutions (travail en cours avec Q. Mérigot et B. Klartag)