Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Une journée en l’honneur du départ de Jean-Yves Chemin aura lieu au LJLL le mercredi 12 avril. Il y aura 5 exposés :

9h30-10h25 : Cindy Guichard

Titre : Méthode de discrétisation gradient : principes et exemples.

Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons les principales propriétés de la méthode de discrétisation gradient qui donne un cadre pour l’analyse numérique de problème elliptique/parabolique. Différents exemples viendront illustrer ce formalisme. En particulier, on discutera la méthode d’éléments finis mixtes.

10h30-11h25 : Delphine Salort

Titre : Etude asymptotique d’un modèle issu des neurosciences avec diffusion partielle.

Résumé : De nombreux modèles EDP sont utilisés pour décrire la dynamique qualitative de réseaux de neurones homogènes. Certains de ces modèles font intervenir des structures très complexes et atypiques à cause des termes de bord, des non linéarités ou des termes de diffusion dégénérée. En particulier, pour certains modèles, avec diffusion dégénérée, la question de l’étude de la dynamique qualitative asymptotique de la solution reste ouverte, même dans le cas le plus simple, qui est le cas linéaire.
Dans le cadre de cet exposé, nous apporterons des réponses à cette question dans le cas d’un modèle linéaire simplifié avec diffusion dégénérée où les méthodes classiques comme la méthode d’entropie ne peuvent pas s’appliquer. Nous expliquerons comment, avec des méthodes de type Doeblin-Harris, nous pouvons obtenir une convergence exponentielle vers un état stationnaire unique pour ce modèle.
Ce travail est en collaboration avec Didier Smets.

Pause café (salle café du LJLL)

11h45-12h40 : Corentin Audiard

Titre : Régularité précisée des solutions des problèmes hyperboliques sur un domaine

Résumé : On présente des résultats complémentaires sur la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques. Le premier améliore (baisse) la régularité requise des données au bord, le deuxième étend la théorie régulière $H^k,$ $k$ entier au cas fractionnaire. Dans ce dernier point, le problème des conditions de compatibilité fait apparaître naturellement un problème d’interpolation simple mais nouveau.

Buffet déjeunatoire (ou déjeuner buffatoire ?) en salle 104 du 1er étage du couloir 15/25.

14h00-14h55 : Nina Aguillon

Titre : Quantification a posteriori de la diffusion numérique
Résumé : Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités. Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d’entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non. Il est très important d’obtenir une version discrète de ces inégalités d’entropie lorsqu’on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d’être instable. Obtenir une inégalité d’entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d’ordre élevé. Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d’obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d’ordre quelconque. Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d’optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l’entropie. C’est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon.

15h00-15h55 : Ayman Moussa

Titre : Estimée de stabilité locale et dérivation du système SKT

Résumé : Nous commencerons par rappeler l’origine du système de réaction-diffusion " SKT " et les défis à ce jour non résolus concernant celui-ci. L’exposé abordera ensuite un schéma d’approximation proposé en 2019 par Daus, Desvillettes et Dietert pour construire des solutions. Nous expliquerons comment ce schéma peut, à l’aide d’une estimation de stabilité locale sur le système, conduire à un résultat partiel de dérivation reliant le système SKT à une famille de marches aléatoires répulsives sur un réseau discret. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vincent Bansaye et Felipe Muñoz-Hernández.

Café de clôture (salle café du LJLL)

Tous les exposés auront lieu dans la salle de séminaire.