Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Vendredi 22 octobre 2021 — 14h00
Exposé dans la salle de séminaire du Laboratoire Jacques-Louis Lions
Campus Jussieu, barre 15-16, 3ème étage, salle 09 (15-16-3-09)
avec retransmission simultanée par Zoom
Sonia Fliss (Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées, Palaiseau)
Ondes en milieux périodiques et quasi-périodiques
Résumé
Je m’intéresserai dans cette présentation à l’équation des ondes en régime harmonique (ou équation de Helmholtz) dans des milieux périodiques et quasi-périodiques non bornés. Une des difficultés de l’équation de Helmholtz en domaine non borné est que le problème associé n’est pas toujours bien posé dans un cadre classique. Il faut imposer en général un comportement à l’infini qu’on appelle condition de radiation ou se ramener à un domaine borné et imposer une condition transparente. C’est la deuxième voie, qui a l’avantage d’avoir une contrepartie numérique, que nous avons suivie en construisant des opérateurs de Dirichlet à Neumann. La démarche est la suivante : (1) on ajoute un peu de dissipation (i.e. une partie imaginaire à la fréquence) pour se ramener à un cadre classique, (2) on construit un opérateur de Dirichlet à Neumann en tirant profit de la structure du milieu, (3) on passe à la limite sur la dissipation.
Depuis quelques années, nous avons considéré le cas des milieux périodiques dans différentes configurations (guides d’ondes, demi-espace, milieu périodique et infini dans 2 directions, etc.). Je rappellerai ces résultats et mentionnerai les questions qui restent ouvertes (et qui concernent principalement le passage à la limite).
Plus récemment, dans le cadre de la thèse de Pierre Amenoagbadji (Propagation des Ondes, Etude Mathématique et Simulation) (POEMS), nous nous sommes intéressés à des milieux quasi-périodiques. Nous avons utilisé la méthode dite de « coupe » qui consiste à prolonger une EDP elliptique (dans le sens où la partie principale de l’opérateur est elliptique) à coefficients quasi-périodiques en une EDP en dimension supérieure à coefficients périodiques mais non elliptique. Cette méthode, assez connue en homogénéisation, a été, il nous semble, très peu exploitée numériquement. Pour cette nouvelle EDP, il est possible d’adapter notre travail pour les milieux périodiques. L’analyse est néanmoins beaucoup plus délicate. Je présenterai nos premiers résultats pour un problème uni-dimensionnel.
Ce travail est le fruit d’une longue collaboration avec Patrick Joly (POEMS) et plus récemment Vincent Lescarret (Centrale Supelec).