Conditions de Neumann Non Homogène

$\newcommand{\Cb}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\Nb}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Rb}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\PS}[2]{\left(#1,#2\right)}$ $\newcommand{\PSV}[2]{\PS{#1}{#2}_V}$ $\newcommand{\PSL}[2]{\PS{#1}{#2}_{L^2(\Omega)}}$ $\newcommand{\PSH}[2]{\PS{#1}{#2}_{H^1(\Omega)}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}$ $\newcommand{\normH}[1]{\left\|#1\right\|_{H^1(\Omega)}}$ $\newcommand{\normL}[1]{\left\|#1\right\|_{L^2(\Omega)}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\xx}{\mathbf{x}}$ $\newcommand{\yy}{\mathbf{y}}$ $\newcommand{\zz}{\mathbf{z}}$ $\newcommand{\nn}{\mathbf{n}}$ $\newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}}$ $\newcommand{\Cscr}{\mathscr{C}}$ $\newcommand{\omegai}{\omega_i}$ $\newcommand{\dsp}{\displaystyle}$ $\newcommand{\diff}{{\rm d}}$ $\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}$ $\newcommand{\dn}{\partial_\nn}$ $\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}$ $\newcommand{\enstq}[2]{\left\{#1 \mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\right\}}$ $\newcommand{\Image}{\mathrm{Im}}$ $\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}$ $\newcommand{\dxi}{\partial_{x_i}}$ $\newcommand{\di}{\partial_{i}}$ $\newcommand{\dj}{\partial_{j}}$ $\newcommand{\Ho}{H^1(\Omega)}$ $\newcommand{\Lo}{L^2(\Omega)}$

Étudions le problème suivant, pour $f\in\Cscr^0(\overline{\Omega})$ et $g\in\Cscr^0(\partial\Omega)$:

\begin{equation}\label{eq:dnNonH} \left\{ \begin{array}{r c l l} -\Delta u + u &=& f & (\Omega),\\
\dn u & = & g & (\partial \Omega). \end{array} \right. \end{equation} Commençons par la formulation variationnelle dans l’espace des fonctions $\Cscr^1(\Omega)$. Après multiplication par des fonctions test et intégration par partie, nous obtenons $$ \int_{\Omega}\nabla u(x) \cdot \overline{\nabla v(x)} \diff x + \int_{\Omega} u(x)\overline{ v(x)} \diff x -\int_{\partial\Omega} \dn u(x)\overline{v(x)} \diff s(x) = \int_{\Omega} f(x)\overline{v(x)} \diff x. $$ En utilisant la condition $\dn u = g$ sur $\partial\Omega$, nous obtenons la formulation variationnelle suivante : \begin{equation}\label{fv:dnNonH} \left\{\begin{array}{l} \text{Trouver }u\in\Cscr^1(\overline{\Omega})\text{ tel que}\\
\forall v \in\Cscr^1(\overline{\Omega}),\quad a(u,v) = \ell(v), \end{array}\right. \end{equation} avec $$ \begin{array}{r c l} a(u,v) &:=& \dsp\int_{\Omega}\nabla u(x) \cdot \overline{\nabla v(x)} \diff x + \int_{\Omega} u(x)\overline{ v(x)} \diff x\\
\ell(v) &:= &\dsp\int_{\partial\Omega} g(x)\overline{v(x)} \diff s(x) + \int_{\Omega} f(x)\overline{v(x)} \diff x. \end{array} $$ Nous avons alors la proposition suivante

Proposition.

Soit $u\in \Cscr^2(\overline{\Omega})$. Alors $u$ est solution de \eqref{eq:dnNonH} si et seulement si $u$ est solution de la formulation variationnelle \eqref{fv:dnNonH}

Proof.

Le sens $\implies$ est évident. Montrons l’autre sens, c’est-à-dire prenons $u$ une fonction $\Cscr^2(\overline{\Omega})$ solution de \eqref{fv:dnNonH} : $$ \forall v \in \Cscr^1(\overline{\Omega}),\qquad \int_{\Omega}\nabla u(x) \cdot \overline{\nabla v(x)} \diff x + \int_{\Omega} u(x)\overline{ v(x)} \diff x = \int_{\partial\Omega} g(x)\overline{v(x)} \diff s(x) + \int_{\Omega} f(x)\overline{v(x)} \diff x. $$ Nous appliquons la formule de Green sur le premier terme pour obtenir (nous simplifions la notation en supprimant les quantités $(x)$) $$ \forall v \in \Cscr^1(\overline{\Omega}),\qquad - \int_{\Omega}\Delta u. \overline{v} \diff x + \int_{\partial\Omega}\dn u. \overline{v}\diff x + \int_{\Omega} u\overline{ v} \diff x = \int_{\partial\Omega} g\overline{v} \diff s + \int_{\Omega} f\overline{v} \diff x. $$ Nous regroupons les termes pour obtenir \begin{equation}\label{eq:proof1} \forall v \in \Cscr^1(\overline{\Omega}),\qquad \int_{\Omega}\left(- \Delta u + u - f\right)\overline{v} \diff x = \int_{\partial\Omega} \left(g - \dn u\right)\overline{v} \diff s \end{equation} Cette expression étant valable pour tout $v$ de $\Cscr^1(\overline{\Omega})$, elle l’est également pour les fonctions $\Cscr^{\infty}_c(\Omega)$, qui sont nulles sur le bord $\partial\Omega$ : $$ \forall v \in \Cscr^{\infty}_c(\Omega),\quad \int_{\Omega}\left(- \Delta u + u - f\right)\overline{v} \diff x = 0, $$ ce qui implique que $- \Delta u + u -f = 0$ presque partout. Ceci implique par ailleurs que \eqref{eq:proof1} devient : $$ \forall v \in \Cscr^1(\overline{\Omega}),\qquad \int_{\partial\Omega} \left(g - \dn u\right)\overline{v} \diff s = 0. $$ En particulier, comme $\dn u$ et $g$ sont continues sont $\partial\Omega$, nous pouvons prendre $v\in\Cscr^1(\overline{\Omega})$ tel que $v|_{\partial\Omega} = g - \dn u$. Nous obtenons alors $$ \int_{\partial\Omega} \abs{g - \dn u}^2\diff s = 0 = \norm{g-\dn u}_{L^2(\partial\Omega)}^2, $$ soit donc $g = \dn u$ presque partout sur $\partial\Omega$.

Pour pouvoir appliquer le Théorème de Lax-Milgram, nous devons basculer dans l’espace de Sobolev, plutôt que celui des fonctions dérivables (fortement). La formulation faible \eqref{fv:dnNonH} s’écrirait alors \begin{equation}\label{fvH:dnNonH} \left\{\begin{array}{l} \text{Trouver }u\in\Ho\text{ tel que}\\
\forall v \in\Ho,\quad a(u,v) = \ell(v), \end{array}\right. \end{equation} où $a(\cdot,\cdot)$ et $\ell(\cdot)$ sont définies de la même manière que précédemment. Pour pouvoir appliquer le Théorème de Lax-Milgram, nous savons par le cas de Neumann homogène que l’application $a(\cdot,\cdot)$ est continue et coercive. Le problème vient de la fonction $\ell$ : $$ \ell(v) = \int_{\Omega}f\,\overline{v} \diff x+ \int_{\partial\Omega}g\,\overline{v} \diff s. $$ En effet, rien ne prouve que la deuxième quantité existe et soit continue : nous n’avons pas donné de sens à la trace sur $\partial\Omega$ d’une fonction de $\Ho$, c’est-à-dire à $v|_{\partial\Omega}$. C’est l’objet du théorème ci-dessous (admis).

Theorem (Continuité de la Trace).

Soit $\Gamma\subset\partial\Omega$ une partie du bord de mesure non nulle au sens de la mesure de surface. Alors il existe une unique application $\gamma_{\Gamma}\colon\Ho\to L^2(\Gamma)$ qui est continue au sens de $\normH{\cdot}$ : $$ \exists C>0 \text{ tel que } \forall v \in\Ho, \; \norm{\gamma_{\Gamma}(v)}_{L^2(\partial\Omega)} \leq C\normH{v}. $$ Cette application est de plus caractérisée par $$ \forall\varphi\in \Cscr^1(\overline{\Omega}),\qquad \gamma_{\Gamma}(\varphi) = \varphi|_{\Gamma}. $$

Ce théorème nous permet de montrer que la forme $\ell$ a un sens (chaque quantité existe) et est bien continue puisque, pour tout $v$ de $\Ho$ : $$ \begin{array}{r c l } \abs{\ell(v)} &\leq & \dsp \abs{\int_{\Omega} f(x)\conj{v(x)}\diff x} + \abs{\int_{\partial\Omega} g(x)\conj{v(x)}\diff x}\\
&\leq & \dsp \abs{\int_{\Omega} f(x)\conj{v(x)}\diff x}+ \abs{\int_{\partial\Omega} g(x)\conj{\gamma_{\partial\Omega}(v(x))}}. \end{array} $$ En appliquant successivement l’inégalité de Cauchy-Schwarz puis l’inégalité due à la continuité de la Trace sur $\partial\Omega$, nous obtenons la continuité de $\ell(\cdot)$: $$ \begin{array}{r c l } \abs{\ell(v)} &\leq &\dsp \normL{f}\normL{v} + \norm{g}_{L^2(\partial\Omega)}\norm{\gamma_{\partial\Omega}(v)}_{L^2(\partial\Omega)}\\
&\leq & \dsp \left(\normL{f} + C\norm{g}_{L^2(\partial\Omega)}\right)\normH{v}. \end{array} $$

Nous pouvons en conclure que \eqref{fvH:dnNonH} admet une unique solution par le Théorème de Lax-Milgram.