Conditions de Fourier-Robin

$\newcommand{\Cb}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\Nb}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Rb}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\PS}[2]{\left(#1,#2\right)}$ $\newcommand{\PSV}[2]{\PS{#1}{#2}_V}$ $\newcommand{\PSL}[2]{\PS{#1}{#2}_{L^2(\Omega)}}$ $\newcommand{\PSH}[2]{\PS{#1}{#2}_{H^1(\Omega)}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}$ $\newcommand{\normH}[1]{\left\|#1\right\|_{H^1(\Omega)}}$ $\newcommand{\normL}[1]{\left\|#1\right\|_{L^2(\Omega)}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\xx}{\mathbf{x}}$ $\newcommand{\yy}{\mathbf{y}}$ $\newcommand{\zz}{\mathbf{z}}$ $\newcommand{\nn}{\mathbf{n}}$ $\newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}}$ $\newcommand{\Cscr}{\mathscr{C}}$ $\newcommand{\omegai}{\omega_i}$ $\newcommand{\dsp}{\displaystyle}$ $\newcommand{\diff}{{\rm d}}$ $\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}$ $\newcommand{\dn}{\partial_\nn}$ $\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}$ $\newcommand{\enstq}[2]{\left\{#1 \mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\right\}}$ $\newcommand{\Image}{\mathrm{Im}}$ $\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}$ $\newcommand{\dxi}{\partial_{x_i}}$ $\newcommand{\di}{\partial_{i}}$ $\newcommand{\dj}{\partial_{j}}$ $\newcommand{\Ho}{H^1(\Omega)}$ $\newcommand{\Lo}{L^2(\Omega)}$ $\newcommand{\mphi}[1]{\varphi_{#1}}$ $\newcommand{\sumit}[1]{\mathbf{s}_{#1}}$

Problème

Étudions le problème suivant pour $f$ et $g$ suffisamment régulières :

\begin{equation}\label{eq:dnNonH} \left\{ \begin{array}{r c l l} -\Delta u +u &=& f & (\Omega),\\
\dn u + u& = & g & (\partial \Omega). \end{array} \right. \end{equation} La condition de Fourier (ou Robin ou Fourier-Robin) s’écrit aussi $\dn u = g -u$ sur $\partial\Omega$. Après calcul, la formulation variationnelle s’écrit $$ \left\{ \begin{array}{r c l l} \text{Trouver }u\in\Ho\text{ tel que }\\
\forall v\in\Ho, a(u,v) = \ell(v), \end{array} \right. $$ avec : $$ \begin{array}{l c c l} a\colon & \Ho\times\Ho & \to &\Ho\\
& (u,v)&\mapsto& \dsp \int_{\Omega}\nabla u\cdot\overline{\nabla v} + \int_{\Omega} u \overline{ v} + \int_{\partial \Omega} u|_{\partial\Omega} \overline{ v}|_{\partial\Omega}\\
\ell\colon & \Ho & \to &\Ho\\
& v&\mapsto& \dsp \int_{\Omega}f \overline{v} + \int_{\partial \Omega}g \overline{v}|_{\partial\Omega} \end{array} $$

Existence et unicité

Nous avons vu que les intégrales sur le bord ont un sens du fait de l’existence de l’opérateur trace. Pour une condition de Neumann, l’opérateur $\ell$ est le même et nous avons déjà vu qu’il vérifie les hypothèses du Théorème de Lax-Milgram. Il ne nous reste qu’à vérifier que $a(\cdot,\cdot)$ est sesquilinéaire (trivial), continue et coercive.

  1. Continuité de $a(\cdot,\cdot)$ pour tout $u,v\in\Ho$ : $$ \begin{array}{r c l} \abs{a(u,v)} & = & \dsp\abs{\int_{\Omega}\nabla u\cdot\overline{\nabla v} + \int_{\Omega} u \overline{ v} + \int_{\partial \Omega} u|_{\partial\Omega} \overline{ v}|_{\partial\Omega}}\\
    & \leq & \dsp\abs{\int_{\Omega}\nabla u\cdot\overline{\nabla v} + \int_{\Omega} u \overline{ v}} + \abs{\int_{\partial \Omega} u|_{\partial\Omega} \overline{ v}|_{\partial\Omega}}\\
    & \leq & \dsp \normH{u} \normH{v}+\norm{u|_{\partial\Omega}}_{\partial\Omega} \norm{v|_{\partial\Omega}}_{\partial\Omega}\\
    & \leq & \dsp \normH{u} \normH{v} + C^2\normH{u}\normH{v}\\
    & \leq & \dsp (1 + C^2)\normH{u} \normH{v}\\
    \end{array} $$ La constante $C$ est la constante de continuité de l’opérateur Trace sur $\partial\Omega$.

  2. Coercivité de $a(\cdot,\cdot)$, avec $u\in\Ho$ : $$ \begin{array}{r c l} a(u,u) & = & \dsp\int_{\Omega}\nabla u\cdot\overline{\nabla u} + \int_{\Omega} u \overline{u} + \int_{\partial \Omega} u|_{\partial\Omega} \overline{u}|_{\partial\Omega}\\
    & = & \dsp \normH{u}^2+ \underbrace{\int_{\partial \Omega} u|_{\partial\Omega} \overline{u}|_{\partial\Omega}}_{\geq 0}\\
    & \geq & \dsp \normH{u}^2 \end{array} $$ Le problème admet donc une unique solution.

Matrice de masse sur le bord

Après discrétisation dans la base éléments finis, nous sommes ramenés à la résolution du système linéaire $$ A U = b, $$ où la matrice $A$ et le vecteur $b$ sont donnés par $$ \begin{array}{r c l} A(I,J) &=& \dsp\int_{\Omega}\nabla \mphi{J}\cdot\overline{\nabla \mphi{I}} + \int_{\Omega} \mphi{J} \overline{ \mphi{I}} + \int_{\partial \Omega} \mphi{J}|_{\partial\Omega} \overline{ \mphi{I}}|_{\partial\Omega}\\
B(I) &=& \dsp\int_{\Omega} f \overline{ \mphi{I}} + \int_{\partial \Omega}g \overline{ \mphi{I}}|_{\partial\Omega} \end{array} $$ Le vecteur $B$ se calcule grâce aux formules de quadratures. La matrice $A$ est obtenue par la somme de la matrice de rigidité $D$, de masse $M$ et d’une dernière matrice $M_{\partial\Omega}$ de coefficients : $$ M_{\partial\Omega}(I,J)= \int_{\partial \Omega} \mphi{J}|_{\partial\Omega} \overline{\mphi{I}}|_{\partial\Omega}. $$ Cette matrice correspond à une matrice de masse sur le bord $\partial\Omega$. Nous pouvons tout d’abord remarquer que $\mphi{I}|_{\partial\Omega} = 0$ dès que $\sumit{I}$ n’est pas sur $\partial\Omega$. Comme toujours, nous préférons la décomposer en contributions élémentaires où, ici, un élément sera un segment : $$ M_{\partial\Omega}(I,J)= \sum_{\sigma \in \partial\Omega} \int_{\sigma} \mphi{J}|_{\sigma} \overline{\mphi{I}}|_{\sigma}. $$ Nous pouvons maintenant remarquer que la somme sur les arêtes n’en est pas une puisque l’intégrale sur $\sigma$ est nulle dès que $\sumit{I}$ ou $\sumit{J}$ n’est pas un sommet de l’arête. Cependant, n’oublions pas que nous ne calculons pas les coefficients un à un mais que nous assemblons la matrice, autrement dit, nous parcourons chaque segment, calculons toutes les contributions élémentaires associées à ce dernier, et additionnons le tout dans la grande matrice du système.

Autrement dit et quitte à renuméroter, nous considérons une arête $\sigma = [\sumit{1}^{\sigma}, \sumit{2}^{\sigma}]$, nous cherchons à calculer : $$ M^e_{\sigma}(i,j) =\int_{\sigma} \mphi{j}^{\sigma} \overline{\mphi{i}^{\sigma}}, $$ avec $\mphi{i}^{\sigma} = \mphi{I}|_{\sigma}$ et $\sumit{i}^{\sigma} = \sumit{I}$. La matrice $M^e_{\sigma}$ est de dimension 2x2.

Éléments Finis P1

Nous introduisons la coordonnée curviligne $t$ $$ \forall \xx \in \sigma, t(\xx) = \frac{\norm{\xx-\sumit{1}^{\sigma}}}{\norm{\sumit{1}^{\sigma}-\sumit{2}^{\sigma}}} \in [0,1]. $$ Quand $\xx = \sumit{1}^{\sigma}$ alors $t=0$ et $\xx = \sumit{2}^{\sigma}$ alors $t=1$.

La trace d’une fonction de forme $\mathbb{P}_1$ sur $\sigma$ est la “fonction chapeau” 1D classique. Plus précisément : $$ \begin{array}{l} \mphi{1}^{\sigma}(\xx) =\mphi{1}^{\sigma}(\xx(t)) = \hat{\phi_1}(t) = 1-t\\
\mphi{2}^{\sigma}(\xx) =\mphi{2}^{\sigma}(\xx(t)) = \hat{\phi_2}(t) = t \end{array} $$

À l’inverse, connaissant $t$ on peut retrouver le point $\xx$ : $$ \xx(t) = (1-t)\sumit{1} + t\sumit{2}. $$ Nous avons une transformation bijective entre $\sigma$ et le segment $[0,1]$ dit de référence et noté $\hat{\sigma}$. Nous pouvons opérer un changement de variable ($i,j = 1,2$): $$ \int_{\sigma}\mphi{j}^{\sigma} \overline{\mphi{i}^{\sigma}} \diff \xx= \abs{\sigma}\int_{0}^1\mphi{j}^{\sigma}(\xx(t)) \overline{\mphi{i}^{\sigma}\xx(t)} \diff t = \abs{\sigma}\int_{0}^1\hat{\phi}_{j}(t) \overline{\hat{\phi}_i(t)} \diff t. $$ Le coefficient de masse de bord se calcule alors aisément : $$ M^e_{\sigma}(i,j) =\frac{\abs{\sigma}}{6} \left( \begin{array}{c c} 2 & 1\\
1 & 2 \end{array} \right). $$